দশমিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ in Study Online Bd
অন্যান্য শ্রেণী ও বিষয়

বি সি এস : গনিত



সবাইকে Studyonlinebd.com এর পক্ষ থেকে আসসালামু আলাইকুম । আশা করি আপনারা সবাই ভাল আছেন । শুরুতেই আমি বলতে চাই আমাদের কোন ভুল হলে ক্ষমা সুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন।

সম্পূর্ণ ফ্রিতে  ৩৮ তম বিসিএস পরীক্ষার প্রস্তুতি নেন আমাদের সাথেঃ আমরা প্রতিদিন এক অধ্যায় বলে দিবো, আপনারা ঐ অধ্যায় পড়া শুনা করে  প্রতিদিন রাত ৮ঃ৩০ মিনিটে পরীক্ষা দিবেন । পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করতে Studyonlinebd.com  এতে রেজিস্ট্রেশন করতে হবে(রেজিস্ট্রেশন করতে আপনার কোন সমস্যা হলে আমাদের ফেসবুক পেইজে এসএমএস করুন) । তার পরে লগইন করে Daily Exam  এ পাবেন প্রতিদিনের পরীক্ষার প্রশ্ন ।পরীক্ষায় নেগেটিভ মার্কিং  আছে প্রতি ৪ টা ভুল প্রশ্নের জন্য ১ মার্ক কাটা যাবে।

এখন আমরা দশমিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ নিয়ে আলোচনা করবো। বিস্তারিত নিচেঃ 

 

 দশমিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ

    দশমিক এবং দশমিকের ভগ্নাংশ অধ্যায়ে আমরা শিখব-

১.    দশমিক সংখ্যা কখন এবং কিভাবে ব্যবহার করতে হয়?

২.    কিভাবে দশমিক সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করা যায়?

৩.    দশমিক সংখ্যার সাথে অন্য সংখ্যার তুলনা করতে হয় কিভাবে?

৪.    দশমিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটি বড় এবং কোনটি ছোট তা বের করতে হয় কিভাবে?

৫.    দশমিক সংখ্যা আসলে কিভাবে কাটাকাটি করতে হয়?

৬.    দশমিকের সরল অংক কিভাবে করতে হয়?

 

প্রাথমিক আলোচনা:

দশমিক সংখ্যা হলো একটি পূর্ণ সংখ্যার ভগ্নাংশের মান.যেমন আড়াই কে আমরা লিখতে পারি ২.৫। কারো রেজাল্ট এ মাইনাস হলে আমরা বুঝি সে ৩.৫ পেয়েছে।

বি:দ্র: খেয়াল রাখতে হবে যে কোন দশমিক সংখ্যার সাথে যদি কোন পূর্ণ সংখ্যা না থাকে, তাহলে তার মান ১ এর থেকে ছোট।

তাহলে .৯৯৯৯৯৯৯ যত বড় সংখ্যাই হোক না কেন তার মান ১ এর থেকে ছোট

যেমন আমরা বাস্তবে দেখতে পারি যে

 

৯০ পয়সা কে পয়সায় প্রকাশ করতে চাইলে আমরা লিখি ৯০ পয়সা। কিন্তু যদি বলা হয় যে ৯০ পয়সা = কত টাকা?

 তখন আর ৯০টাকা বলা যাবে না। কেননা ১০০ পয়সায় ১ টাকা হয়। তাই ৯০ পয়সা = \frac{90}{100}  টাকা যাকে দশমিক সংখ্যায় লিখতে গেলে লিখতে হবে .৯০টাকা বা .৯ টাকা (দশমিক সংখ্যার শেষে ০ লিখা না লিখা সমান)। এমনি ভাবে ১০ পয়সা = ০.১০ টাকা বা ০.১ টাকা। কিন্তু ১ পয়সা = .১ হবে না । বরং ০.০১ হবে।  \frac{1}{100}  কে ভাগ করে দেখুন। তাহলে আমরা এখান থেকে দেখতে পারতেছি যে ০.১ ও .০১ এর মধ্যে ০.১ বড়। এভাবে আমরা বলতে পারি যে ০.৯  > ০.০৯, অনুরুপভাবে ০.০০৯>০.০০০৯ (পরেরটাতে তিনটা ০ এর পর ৯ আছে)।

 

       কোনটি বড়? ক)০.৬  খ)০.৬১৬, গ)০.০৬৬৬, ঘ)০.৬০৯৯, ঙ)০.৫৬৪৯৮৫

 লক্ষ করুণ, এখানে কোন সংখ্যা দেখতে কত বড় তা গুরুত্বপূর্ণ নয়। বরং ০.(দশমিকের)  পরপরই কোন অংকটি বড় তা দেখতে হবে। এতে দেখা যাচ্ছে  গ, ও ঙ তে ০ ও ৫ আছে তাই এদুটো বাদ। বাকী তিনটিতেই ৬ আছে। তাহলে এবার দেখুন ৬ এর পর কোন সংখ্যাটিতে বড় অংক আছে? দেখা যাচ্ছে ক তে .৬ এর পর কিছু নেই। তাহলে এখানে মনে মনে ০ ধরে নিতে হবে। খ তে .৬ এর পর ১ আছে তাহলে ক বাদ। এর পর ঘ তে ৬ এর পর ০ আছে তাই এটি ও বাদ। তাহলে খ- ই সবথেকে বড়। তাহলে উত্তর হবে  “খ”

 

এখন কিছু উদাহরণ দেখে আরো ক্লিয়ার হই, (বড় ছোট  অথবা  ছোট  বড়)

ক).৯৯০১>.৯৮৯৯  খ).৮৯৮৮৮>০.৮৮৮৮৮৮৮   আবার ০.৬৫৪৮৫<০.৬৫৪৮৬ অর্থাৎ দশমিকের পরের সংখ্যাগুলোর অবস্থান আগে এক লাইনে এনে তারপর তুলনা করতে হবে। যেমন:.৫ এবং ০.২৫৬৪ এর মধ্যে ১ম সংখ্যাটি .৫ বড় কেননা . দশমিকের পর প্রথম অংক এবং ২য় টির দশমিকের পর প্রথম অংকের মধ্যে .৫ ই বড়। সংখ্যাটি কত বড় ই হোক না কেন তা দেখে তুলনা করা যাবে না।

 

 

ক্সদশমিক সংখ্যার যোগ: ০.১+০.১=০.২ কিন্তু ০.১+০.০১=০.১১ এখানে পার্থক্যটা দেখে বুঝে নিন যে দশমিকের পরে কোন সংখ্যাটি কোন ঘরে আছে তা দেখে যোগ করতে হবে। যেমন: .২১১ এর সাথে .৩২ যোগ করতে হলে প্রথম সংখ্যাটি আগে লিখে তার নিচে ২য় সংখ্যাটি লিখতে হবে। কিন্তু এখানে যেহেতু প্রথম সংখ্যাটিতে . দশমিকের পর তিনটি অংক আছে আবার  ২য় টিতে . দশমিকের পর দুটি সংখ্যা আছে তাই ২য় সংখ্যাটির শেষে ০ লাগিয়ে দিয়ে তারপর যোগ করতে হবে।

তাহলে আমরা খুব সহজেই বুঝতে পারলাম যে দুটি দশমিক সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করতে হলে অবশ্যই দশমিকের পর তাদের অংক সংখ্যা সমান হতে হবে। এক্ষেত্রে কোন সংখ্যায় যতটি অংক কম থাকবে ততটি শূণ্য ঐ সংখ্যাটির ডানপাশে যোগ করে আগে সমান করে তারপর যোগ বা বিয়োগ করতে হবে।

যেমন: .২৫৪৫+৭.২৬ এখানে ১ম সংখ্যাটিতে দশমিকের পর ৪টি অংক কিন্তু ২য় সংখ্যাটিতে দশমিকের পর ২ টি অংক আছে। তাই যোগ বা বিয়োগ করার সময় আগে ২য় সংখ্যাটির পরে দুটি অতিরিক্ত ০০ যোগ করে আগে সমান করে তারপর যোগ বা বিয়োগ করতে হবে। তাই যোগফল হবে - .২৫৪৫+৭.২৬০০ =৭.৫১৪৫

 

ক্সদশমিক সংখ্যার বিয়োগ:যোগ করার নিয়মের মতই শুধু যোগ চিহ্ন এর স্থলে বিয়োগ চিহ্ন।  যেমন: .১২৫ - .১ = .১২৪ লিখা যাবে না। বরং .১ এর পর ২টি ০০ বসিয়ে তারপর বিয়োগ করতে হবে। তাই উত্তরটা হবে-   .১২৫-.১০০=.০২৫

 

(লক্ষ্য রাখতে হবে কখন শূণ্য যোগ করতে হবে এবং কোন সংখ্যার নিচে কোন সংখ্যা বসবে তা যেন ভুল না হয়)

আশা করি নিচের উদাহরণ গুলি নিজে নিজে করলে সম্পূর্ণরুপে বুঝতে পারবেন। (আগে নিজে করে তারপর উত্তরটি মিলিয়ে নিন)

 

ক্সদশমিক সংখ্যার গুণ: দুটি দশমিক সংখ্যা অথবা একটি দশমিক ও একটি পূর্ণ সংখ্যা গুণ করতে হলে

 

দশমিক সংখ্যাদশমিক সংখ্যা এর ক্ষেত্রে

 

সাধারন নিয়মে গুণ করে দুটি দশমিক সংখ্যাই দেখতে হবে কোনটার দশমিকের পরে কয়টি সংখ্যা আছে। তারপর দুটো সংখ্যার দশমিকের পরে যতগুলো অংক আছে তা যোগ করে গুণফলটির তত সংখ্যা আগে দশমিক বসাতে হবে। যেমন: .৫.৫ = .২৫ (এখানে দশমিকের পরে একটি করে অংক আছে তাই গুণফলে মোট দুটি অংকের আগে দশমিক বসেছে।

 আবার

যদি দেখা যায় যে ৪টি  অংকের আগে দশমিক বসাতে হবে কিন্তু গুণফল বের হয়েছে তিনটি। সেক্ষেত্রে আপনাকে যতটি অংক কম আছে দশমিকের পরপরই ততটি শূন্য নিতে হবে এবং তারপর বাকী অংকগুলো লিখতে হবে। যেমন: .১২.১২= .১৪৪ লিখলে হবে না। কেননা এখানে প্রথমে সংখ্যা দুটিতে দশমিকের পর মোট দুটি করে অংক আছে। তাই গুণফলটিতে ২+২ মোট ৪ টি সংখ্যার আগে দশমিক বসাতে হবে। কিন্তু গুণফলটি তে ৩ টি অংক থাকায় একটি অংক কম হচ্ছে। আর এ জন্যই দশমিকের পর একটি অতিরিক্ত ০ বসিয়ে তারপর ১৪৪ বসাতে হবে। তাই .১২ ×.১২ = .০১৪৪ হবে। (প্রমাণ দেখতে চাইলে আপনার মোবাইলের ক্যালকুলেটরে গুণ করে দেখুন)

 

প্রাকটিস:

১. .০৫. ×০৭=.০০৩৫      

২. ০.১×০.০১×০.০০১=০.০০০০০১

 

বিগত পরীক্ষার প্রশ্ন:

২.    ০.৩×০.০৩×০.০০৩= কত?  ক)০.০০০২৭  খ)০.০০০০২৭  গ)০.০০২৭  ঘ)০.০২৭ (প্রাথ: গণশিক্ষা ০১)  উ: খ(১+২+৩=৬টির আগে দশমিক)

৩.    ০.৫×০.০০০৫ = কত? ক)০.০২৫ খ) ০.০০০২৫  গ)০.০০০০২৫ ঘ)০.২৫  (সমবায় অধিদপ্তর ৯৭) উ: খ (১+৪=৫টির আগে .দশমিক বসাতে হবে)

 

দশমিক সংখ্যাপূর্ণ সংখ্যার ক্ষেত্রে

       পূর্বের নিয়মের মতই শুধু এখানে পূর্ণ সংখ্যাটি ধরে হিসেব করা যাবে না। শুধুমাত্র দশমিকের পরের অংকগুলো ধরে হিসেব করতে হবে। যেমন:

২.২৫ ×২= ৫.০০ বা শুধু ৫ কেননা দশমিকের পর শূণ্যের মূল্য নেই  ৫.২৫৪×৩.৭৪=১৯.৬৪৯৯৯( এখানে আগে দশমিক গুলো তুলে দিয়ে তারপর গুণ করতে হবে। তারপর যে উত্তর বের হবে তাতে দশমিক বসিয়ে দিতে হবে। দশমিক টা কোথায় বসাবেন??? দশমিক বসানোর নিয়ম হলো উপরে যে সংখ্যা গুলো গুণ করবেন সে  সংখ্যাগুলোর দেখতে হবে। এক্ষেত্রে পূর্ণ সংখ্যাটির হিসেব না করে অন্য সংখ্যাটির দশমিকের পর কয়টি অংক ছিল তা দেখে প্রাপ্ত গুণফলটির ততটি অংক পূর্বে দশমিক বসালেই হবে। যেমন: ০.৩×৩= .৯,  ১.২৫× ৫=৬.২৫

 

দশমিক সংখ্যার ভাগ বা কাটাকাটি করার নিয়ম: ভগ্নাংশের মধ্যে শুধু লব বা শুধু  হর যদি দশমিক সংখ্যা হয় সে ক্ষেত্রে দশমিক উঠিয়ে দিয়ে তার   এবংবিপরীতে একটি ১ নিতে হবে। এবং দশমিকের পর যতটি সংখ্যা থাকবে ততটি শূণ্য বসিয়ে তারপর সাধারণ নিয়মে ভাগ এবং কাটাকাটি করতে হবে। যেমন: 

 

\frac{4\times 45.5}{26}\doteq \frac{4\times 455}{26\times 10}  এবং    =  \frac{622.175\times 5}{25.5}\doteq \frac{622175\times 5}{255\times 1000}

দশমিক সংখ্যার সরল: আবার দশমিকের সরল আসলে অর্থাৎ একই অংকে অনেকগুলো দশমিকের অংক একসাথে আসলে, উপরে আলোচিত বিষয়গুলি অনুসারেই কাজ করতে হবে। তবে এক্ষেত্রে গুলিয়ে ফেলার সম্ভাবনা থাকতে পারে। তাই কোন কাজটি আগে করবেন আর কোনটি পরে তা ই মনে রাখা আসল। আরো একটি সহজ নিয়ম হলো এই যে উপরের ও নিচের দশমিক সংখ্যার পরে সমান সংখ্যক দশমিক সংখ্যা থাকলে দু দিক থেকেই দশমিক তুলে দেয়া যায় । এক্ষেত্রে আর ১ নিয়ে তারপর শুন্য বসাতে হবে না।      ( বিস্তারিত ক্লাশে)

 

       কিছু উপকারী কৌশল: যে কোন সংখ্যাকে ১০ দিয়ে ভাগ করলে ঐ সংখ্যাটির এক অংক আগে দশমিক বসাতে হয়। যেমন: ২৫১০=২.৫

২÷১০ = .২ আবার ১০০ দ্বারা ভাগ করলে দুই অংক আগে দশমিক বসাতে হয়। অর্থাৎ যতটি শূণ্য থাকবে তত ঘর আগে দশমিক বসাতে হবে। যেমন: ২২৫ ÷১০০=২.২৫, ২÷১০০ = .০২, ৫২৪১÷১০০০ = ৫.২৪১, ২÷১০০০ = ০.০০২। আবার দশমিক যুক্ত সংখ্যাকে গুণ করার সময় এর বিপরীত নিয়ম। অর্থাৎ দশমিকের পর একটি অংকযুক্ত সংখ্যাকে ১০ দ্বারা গুণ করলে ঐ দশমিকটি এক ঘর ডানে সরে যায়। যেমন: ২.২× ১০ = ২২, ১০০ দিয়ে গুণ করলে দুই ঘর ১০০০ দিয়ে গুণ করলে তিন ঘর ডানে সরে যায়। যেমন: ৫২.৩২৫× ১০০ = ৫২৩২.৫